วันพฤหัสบดีที่ 5 กรกฎาคม พ.ศ. 2555

เรื่อง การเคลื่อนที่แบบต่างๆ




เรื่อง การเคลื่อนที่แบบต่างๆ

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (Motion of a Projectile) คือ  การเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นแนวโค้ง  ในกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่อย่าง 

เสรีด้วยแรงโน้มถ่วงคงที่  เช่น วัตถุเคลื่อนที่ไปในอากาศภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก ทางเดินของวัตถุจะเป็นรูปพาราโบลา
การเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์มีลักษณะ  ดังนี้
          1.  การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีแนวการเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งพาราโบลา  เนื่องจากค่าการกระจัดในแนวดิ่งแปรผันตามกับค่ากำลังสองของการกระจัดในแนวระดับ หรือ  Sy = kSxซึ่งเป็นความสัมพันธ์ของกราฟพาราโบลา
          2.  การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นั้น  เสมือนกับว่าประกอบไปด้วยการเคลื่อนที่ทั้งในแนวดิ่ง (แกน y)  และในแนวระดับ (แกน x) ไปพร้อมๆกัน 
                 1)  แรงลัพธ์ในแนวระดับ (แกน x) ที่กระทำต่อวัตถุมีค่าเป็นศุนย์ แสดงว่า วัตถุจะมีความเร็วในแนวระดับคงตัว  สามารถคำนวณจากสูตร 
             2)  เนื่องจากแรงลัพธ์ในแนวดิ่ง (แกน y) ที่กระทำต่อวัตถุมีค่าเท่ากับ mg แสดงว่า วัตถุจะมีความเร่งของการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง มีทิศลงเป็น g       สามารถคำนวณจากสูตร
         3.  การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง (แกน y) และแนวระดับ (แกน x) จะเท่ากันเสมอ  เนื่องจากเกิดขึ้นพร้อมกัน
         4.  การกระจักลัพธ์ และทิศทาง  สามารถคำนวณจาก
        5.  ความเร็วของวัตถุในแนวเส้นสัมผัส  สามารถคำนวณจาก



การคำนวณการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

การเคลื่อนที่แบบวงกลม


Q:       ความเร็วเชิงมุม  เป็นปริมาณเวกเตอร์หรือสเกลาร์?A:     ระยะทาง s  บนเส้นทางการเคลื่อนที่แบบวงกลม เป็นปริมาณเวกเตอร์  ส่วนประกอบย่อย ds  ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของวงกลม ก็เป็นปริมาณเวกเตอร์  จากนิยาม ความเร็วเชิงมุมคือ  = ds/dt = (1/dtds,  ds เป็นเวกเตอร์และ dt เป็นสเกลาร์ ผลคูณของ  (1/dtds จึงเป็นเวกเตอร์  ดังนั้น  จึงเป็นปริมาณเวกเตอร์
Q:     แรงสู่ศูนย์กลาง(centripetal) และ แรงหนีศูนย์กลาง(centrifugal) ต่างกันอย่างไร?
A:     ความแตกต่างของคำทั้งสอง ก็คือ  แรงสู่ศูนย์กลางมีอยู่จริง  ส่วนแรงหนีศูนย์กลางไม่มี
เพื่อความเข้าใจเกี่ยวกับแรงสู่ศูนย์กลางและ แรงหนีศูนย์กลางเรามาดูที่มาของคำศัพท์ centripetal และcentrifugal.
centri มาจากภาษาละติน  centr หมายถึง "ศูนย์กลาง"
petal มาจากภาษาละติน petere หมายถึง "เข้าสู่"
fugal มาจากภาษาละติน fugere หมายถึง "หนีห่าง"
    ดังนั้น  centripetal force คือ  "แรงสู่ศูนย์กลาง"  ส่วน  centrifugal force คือแรงที่ไม่เข้าสู่ศูนย์กลางหรือ "แรงหนีศูนย์กลาง"   ตอนนี้เราทราบคำจำกัดความแล้ว เราตั้งคำถาม " แรงสู่ศูนย์กลางหรือแรงหนีศูนย์กลาง ที่ทำให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลม ?"
รูปที่  1: แผนภาพของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เป็นวงกลม
     กำหนดให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมอยู่ตลอดเวลา เวกเตอร์ความเร็วของวัตถุนี้เปลี่ยนทิศทางตลอด ขณะที่มันเคลื่อนที่เป็นวงกลม ผลที่ได้คือความเร่งของการเคลื่อนที่  เพราะทิศเวกเตอร์ความเร็วเปลี่ยน ถึงแม้ว่าขนาดของความเร็ว (อัตราเร็ว)ยังคงที่ ปัญหานี้นำไปสู่การหาแรงและความเร่งที่ทำให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลม
     พิจารณาตำแหน่งของวัตถุ เริ่มต้นที่ และไปที่ตำแหน่ง B ในช่วงเวลา t (รูปที่ 1) เวกเตอร์ความเร็วที่ A และ B แสดงดังรูปคือ v0 และ vf ตามลำดับ ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ในช่วงเวลา  t  คือ  s   ในตัวอย่างนี้ ขนาดของความเร็ว (อัตราเร็วคงที่  การเคลื่อนที่ของวัตถุแบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ (v), เรียกว่า "uniform circular motion". 
     จาก สมการ F = maมี 2 เวกเตอร์คือ  F  และ  aมวล m เป็นปริมาณสเกลาร์ ดังนั้นไม่มีผลต่อทิศทางของแรง F ดังนั้นความเร่งมีทิศเดียวกับแรง F.
ความเร่งaคืออัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วเทียบกับเวลา
a = v / t
    ความเร่งเป็นปริมาณเวกเตอร์v คูณด้วยปริมาณสเกลาร์ 1/t  ดังนั้น ทิศทางของความเร่งจึงมีทิศเดียวกับการเปลี่ยนแปลงความเร็ว v   และจะได้ว่าทิศของแรง F ก็มีทิศเดียวกับการเปลี่ยนแปลงความเร็ว v ด้วย
F || a || v.
    เราได้หาทิศทางของแรง F แล้ว ซึ่งเป็นทิศทางของความเร่ง a และทิศของการเปลี่ยนความเร็ว v
คำถามว่า "เวกเตอร์การเปลี่ยนแปลงความเร็วv  ได้จากอะไร?
 "   "  แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของปริมาณใดๆ โดยเอาปริมาณสุดท้ายลบด้วยปริมาณเริ่มต้น ดังนั้นเวกเตอร์การเปลี่ยนแปลงความเร็วคือเวกเตอร์ความเร็วสุดท้ายลบเวกเตอร์ความเร็วเริ่มต้น:
v = vf - v0
รูปที่  2: v = vf -v0
   หาเวกเตอร์ v ได้จากรูปที่  2   โดยเลื่อนจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั้งสอง (vf และ v0) มาไว้ที่จุดเดียวกัน  (เนื่องจากเวกเตอร์กำหนดเฉพาะขนาดและทิศทาง ไม่ต้องคำนึงถึงจุดเริ่มต้น )  รูปที่ 2 สีแดงแสดงเวกเตอร์ v 
     เขียนเวกเตอร์  F || a || ดังรูป 3  a - สีฟ้า    Fสีเขียว  และ v - สีแดง ทั้งหมดอยู่ในทิศทางเดียวกัน
   สังเกต ทิศของเวกเตอร์ทั้งสามนี้ล้วนมีทิศเข้าหาศูนย์กลางของวงกลม  ทั้งความเร่งสู่ศูนย์กลาง  a และแรงสู่ศูนย์กลาง F ต่างห้อย "r" (arและ Frแสดงถึงทิศทางอยู่ในทิศทางของรัศมีวงกลม r.
รูปที่ 3:  เช่นเดียวกับรูป1, แสดงเวกเตอร์ Fa,และ v
สรุป
    แรง Frได้จากเงื่อนไขที่ว่าวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมตลอดเวลาและพบว่ามีทิศตามรัศมี r เข้าหาศูนย์กลาง  เป็นแรงเดียวที่ต้องการทำให้วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง  ar ซึ่งแสดงถึงการเปลี่ยนความเร็วจาก v0 เป็น vf ไม่มีจำเป็นต้องมีแรงอื่นในการเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นวงกลม ไม่มีแรงในทิศทางที่หนีออกจากศูนย์กลาง  ดังนั้นไม่มี "แรงหนีศูนย์กลางอยู่
ที่มาของสมการแรงสู่ศูนย์กลาง Fr
ในการพิสูจน์ แรง Fr, เราใช้คุณสมบัติของ "สามเหลี่ยมคล้ายแสดงดังรูปล่าง:
                  
รูปที่ 4: ความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมคล้าย
สำหรับสามเหลี่ยมในรูป และ  2 ความสัมพันธ์นี้คือ :
       (1)          ย้ายข้างจะได้:
    (2)
หารสมการ (2) ด้วยช่วงเวลา  t:
   (3)
    (4)
   (5)     ดังนั้น
   (6)
สมการ 5 และ 6 แสดงขนาดของ ar (ความเร่งสู่ศูนย์กลางและ Fr (แรงสู่ศูนย์กลาง)  สามารถเขียนในรูปเวกเตอร์ได้ดังนี้
  and   .
เมื่อ   แสดง "เวกเตอร์หน่วยตามแนว r.
 
Q:    ยานอวกาศยังคงอยู่ในวงโคจรได้ตลอดไปหรือไม่? ทำไม ?
A:    วงโคจรของยานอวกาศยังอยู่ภายในชั้นบรรยากาศโลก( the earth's atmosphere) ถึงแม้จะอยู่บนชั้นที่มีแก๊สเบาบางก็ตาม  ฉะนั้นยังมีความเสียดทานซึ่งเกิดจากการเคลื่อนที่ของยานอวกาศตัดกับโมเลกุลของแก๊ส  มีผลทำให้พลังงานจลน์ของยานอวกาศลดน้อยลง นั่นหมายถึงความเร็วของยานอวกาศในวงโคจรลดลง รัศมีการโคจรลดลง  เข้าสู่วงโคจรที่มีความหนาแน่นของแก๊สมาก ถ้าลักษณะนี้เกิดขึ้นจริง เป็นไปได้ที่ยานอวกาศจะเผาไหม้ก่อนตกลงสู่พื้นโลก เพื่อให้ยานอวกาศยังคงอยู่ในวงโคจรระดับเดิมได้ต่อไป ต้องมีแรงกระตุ้นมากเพียงพอที่จะสามารถชดเชยพลังงานความร้อนที่สูญเสียไป

สมการ

ความเร่งสู่ศูนย์กลางa = v2 / r
คาบT = {2 pi2.gif (831 bytes) r) / v
แรงสู่ศูนย์กลางF = ma = mv2 / r





 การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิก
เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของมวลที่ติดปลายสปริง ซึ่งวางบนพื้นที่ไม่มีแรงเสียดทาน ดึงมวลด้วยแรง F แล้วปล่อย มวลที่ติดปลายสปริงจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมา ผ่านตำแหน่งสมดุลเดิมได้โดยไม่มีแรงภายนอกมากระทำ แต่ เคลื่อนที่ด้วยแรงดึงกลับของสปริงซึ่งมีค่าแปรผันตามการขจัดของสปริง โดยที่การกระจัด , ความเร็ว , ความเร่ง , พลังงานจลน์และพลังงานศักย์ มีค่าดังนี้
1.1 การกระจัด
..............(1)
เมื่อ








เมื่อนำสมการที่ (1) มาแทนค่าเวลา (t) ด้วยคาบ (T) ของการเคลื่อนที่ และมุมเฟสเริ่มต้น 0 เรเดียน
จะได้ลักษณะ Sine curve ดังรูป
1.2 ความเร็ว ที่เวลาใดๆ
...........(2)
และ
............(3)
นั่นคือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย ที่ตำแหน่งการขจัดสูงสุดจะมีความเร็วเป็น 0 และมีความเร็วมากที่สุด ที่ตำแหน่งสมดุล
1.3 ความเร่งที่เวลาใดๆ
.............(4)
.............(5)
1.4 พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่
ที่ตำแหน่งใดๆ พลังงานจลน์ มีค่าดังนี้
.............(6)
1.5 พลังงานศักย์ของการเคลื่อนที่
ที่ตำแหน่งใดๆ พลังงานศักย์มีค่า ดังนี้
.............(7)
2. ลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย (Simple pendulum)
ให้มวล m ผูกเชือก  เคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกโดยพิจารณาจากการขจัดเชิงมุม ได้ดังนี้
......................(8)


..................(9)
3. ลูกตุ้มฟิสิคัล (Physical Pendulum)
ให้วัตถุแข็งเกร็งรูปร่างใดๆ แกว่งในแนวดิ่งกลับไปกลับมารอบจุดหมุน ขณะที่วัตถุเคลื่อนที่จะมีแรงดึงกลับ ทำให้เกิดทอร์คดึงกลับ โดยที่ การกระจัดเชิงมุม เป็นดังนี้
..................(10)
และ
..................(11)



4. จุดศูนย์กลางการแกว่งหรือจุดศูนย์กลางการกระแทก (Center of Oscillation or Center of Percussion)
เมื่อวัตถุแข็งเกร็งอันหนึ่งแกว่งแบบลูกตุ้มฟิสิคัล ด้วยคาบการแกว่ง

และให้พิจารณาวัตถุชิ้นนี้มีคาบการแกว่งแบบลูกตุ้มนาฬิกา ด้วยคาบการแกว่ง

ถ้าคาบการแกว่งทั้งสองมีค่าเท่ากัน ได้ว่า
................(12)
ซึ่ง  เป็นระยะจากจุดหมุน ไปยังตำแหน่งที่เสมือนเป็นที่รวมของมวลทั้งหมดของวัตถุ ที่ทำหน้าที่เป็นมวลของ ลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย ซึ่งเรียกตำแหน่งนี้ว่าจุดศูนย์กลางการแกว่งและสำหรับวัตถุชิ้นเดิม เมื่อนำจุดศูนย์กลาง การแกว่งมาเป็นจุดหมุนจะได้คาบการแกว่งเท่ากับคาบการแกว่งเดิม ถ้าออกแรงผลักลูกตุ้มที่จุดศูนย์กลาง การแกว่ง จะไม่มีแรงกระแทกเกิดขึ้นกับจุดที่ถูกแรงผลัก เรียกจุดนี้ว่าจุดศูนย์กลางการกระแทกได้เช่นเดียวกัน
5. ลูกตุ้มทอร์ชัน (Torsion Pendulum)
ให้วัตถุแข็งเกร็งผูกติดกับเส้นลวดแล้วแกว่งกลับไปกลับมาในแนวราบด้วยมุม q ที่มีค่าน้อยๆ ขณะที่วัตถุถูกบิดไป จะเกิดแรงดึงกลับหรือโมเมนต์ดึงกลับ โดยมีการกระจัด ดังนี้
.............(13)
และ
.............(14)



6. การแกว่งแบบถูกหน่วง (Damped Harmonic Motion)
ในการเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกนั้นจะเป็นแบบอย่างง่ายได้ ในกรณีที่แอมปลิจูดของการเคลื่อนที่ตลอดเวลา แต่ในความเป็นจริง ขณะวัตถุเคลื่อนที่จะมีแรงภายนอกมากระทำ ซึ่งอาจเป็นแรงต้านของอากาศหรือแรง เสียดทานระหว่างพื้นผิว ทำให้แอมปลิจูดของการเคลื่อนที่ไม่คงที่ตลอดเวลา แอมปลิจูดมีค่าลดลงเรื่อยๆ จนเป็นศูนย์และทำให้วัตถุหยุดนิ่ง เรียกว่าเป็นการแกว่งแบบถูกหน่วง
จะได้สมการการเคลื่อนที่ ดังนี้
..........(16)




ชนิดของการแกว่งแบบถูกหน่วง
  1. Over Damp นิยาม เกิดเมื่อจะไม่มีการแกว่งเกิดขึ้น
  2. Under Damped นิยาม เกิดเมื่อ การแกว่งจะมีการแกว่งไปมาหลายครั้งจึงจะหยุด
  3. Critical Dampedนิยาม เกิดเมื่อ การแกว่งจะหยุดนิ่ง ภายในเวลาที่สั้นที่สุด
7. การแกว่งแบบถูกแรงกระทำ (Forced Vibration; Driven Harmonic Motion)
เป็นการแกว่งที่มีแรงกระทำต่อวัตถุตลอดเวลาเพื่อเป็นการชดเชยแรงหน่วงของตัวกลาง
สมการการเคลื่อนที่
..............(17)
............(18)




8. การกำทอนของการแกว่ง
เป็นการแกว่งที่มีความถี่เชิงมุมของแรงภายนอกเท่ากับความถี่เชิงมุมธรรมชาติของวัตถุนั้น นั่นคือ

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

แสดงความคิดเห็น