วันอาทิตย์ที่ 15 กรกฎาคม พ.ศ. 2555

การเครื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ -


 เรื่อง การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ -  



    การเคลื่อนที่ คือ การที่วัตถุย้ายตำแหน่งจากที่เดิมไปอยู่ที่ตำแหน่งใหม่   ปริมาณที่ใช้บอกขนาดของการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ ระยะทางและการกระจัด
          ระยะทาง คือ ความยาวที่วัดตามเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ จัดเป็นปริมาณสเกลลาร์
          การกระจัด คือ ระยะที่วัดจากจุดตั้งต้นของการเคลื่อนที่  ตรงไปยังตำแหน่งที่วัตถุอยู่ในขณะนั้น โดยไม่สนใจว่าวัตถุจะมีเส้นทางการเคลื่อนที่เป็นอย่างไร  จัดเป็นปริมาณเวกเตอร์





 ปริมาณทางฟิสิกส์ -  





1. ปริมาณสเกลาร์ ( Scalar )
คือ ปริมาณที่จะมีแต่ขนาดเท่านั้น ไม่มีทิศทาง การคำนวณสามารถบวก ลบ คูณ หาร ได้ทั่ว ๆ ไป                             
ตัวอย่าง ปริมาณสเกลาร์ เช่น ระยะทาง ( Distance ) มวล ( Mass ) อัตราเร็ว ( Speed ) ความหนาแน่น ( Density )
2. ปริมาณเวกเตอร์ ( Vector )
คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาด และทิศทาง การคำนวณจะใช้วิธีต่าง ๆ ที่แตกต่างจากการคำนวณทั่วไป
ตัวอย่าง ปริมาณเวกเตอร์ เช่น การกระจัด ( Displacement ) แรง ( Force ) ความเร็ว ( Velocity )  
ความเร่ง ( Acceleration )
การรวมเวกเตอร์   
คือ การบวกหรือลบกันของเวกเตอร์ตั้งแต่ 2 เวกเตอร์ขึ้นไป ผลลัพธ์ที่ได้เป็นปริมาณเวกเตอร์ 
เรียกว่า เวกเตอร์ลัพธ์ ( Resultant Vector )
มี 2 วิธีดังนี้
1) วิธีวาดรูป ( วิธีหัวต่อหาง )
ทำได้ โดยนำเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้ง จากนั้นเอาหางของเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกหรือผลต่าง มาต่อกับหัวของเวกเตอร์ตัวตั้ง
โดยเขียนให้ถูกต้องทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ลัพธ์หาได้จาก หางเวกเตอร์แรก ไปยังหัวเวกเตอร์สุดท้าย

จากรูป ใช้กฏของโคไซน์ ( Cosine's Law ) จะได้ว่า  =     
2) วิธีการทางคณิตศาสตร์ ( วิธีการสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน ) 
ถ้ามีเวกเตอร์ย่อย 2 อัน สามารถนำมารวมได้โดยแทนขนาดและทิศทาง ด้วยด้านทั้งสองของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ที่ประกอบมุมในจุดนั้น เส้นทแยงมุมที่ลากจากจุดนั้นไปยังมุมตรงข้ามจะแทนทั้งขนาด และทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์
การหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์หาได้จาก  
ส่วนการลบเวกเตอร์ให้ทำคล้าย ๆ กันกับการบวกเวกเตอร์เพียงแต่ให้กลับทิศทางของเวกเตอร์ตัวลบ

        

 ปริมาณเวกเตอร์ -  



ปริมาณ
ปริมาณแบ่งออกเป็น 2 ชนิด

ได้แก่

        1. ปริมาณสเกลาร์ (scalar quantity)
เป็นปริมาณที่บอกให้ทราบขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น ความสูง น้ำหนัก เป็นต้น
        2. ปริมาณเวกเตอร์ (vector quantity)
เป็นปริมาณที่บอกให้ทราบทั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรงและโมเมนตัม ความเร็ว ความเร่ง เป็นต้น
ปริมาณเวกเตอร์
        ปริมาณเวกเตอร์ เขียนแทนได้ด้วย ส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทาง (derected line segment)
โดยใช้ความยาวของส่วนของเส้นตรงแทนขนาดของเวกเตอร์ และใช้ลูกศรในการบอกทิศทางของเวกเตอร์ ดังรูป

       
 การเคลื่อนที่ของวัตถุ -  


        
ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่
ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่จะเป็นพื้นฐานในการศึกษาเรื่องของการเคลื่อนที่ ซึ่งในการเคลื่อนที่จะต้องประกอบไปด้วยองค์ประกอบ 3 ส่วน

Y วัตถุที่เคลื่อนที่ จะหมายจึงวัตถุที่มีลักษณะเป็นของแข็งที่คงรูปทรงอยู่ได้
Y ผู้สังเกต เป็นผู้ที่ศึกษาวัตถุที่เคลื่อนที่ โดยผู้สังเกตจะต้องอยู่นอกวัตถุที่เคลื่อนที่
Y จุดอ้างอิง การเคลื่อนที่ของวัตถุจะต้องมีการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุดังนั้นเราจะต้องมีจุดอ้างอิง
เพื่อบอกตำแหน่งของวัตถุเมื่อเวลาผ่านไป

1. ระยะทาง (Distance) การเคลื่อนที่ของวัตถุจะเริ่มนับตั้งแต่จุดเริ่มต้นที่เราสังเกตเป็นจุดอ้างอิงแล้ววัดระยะทางตามแนวทางที่วัตถุเคลื่อนที่
ไปตามแนวทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ
2. การกระจัด (Displacement) เป็นการบอกตำแหน่งของวัตถุหลังจากการที่เคลื่อนที่ไปแล้วในช่วงเวลาหนึ่งโดยจะบอกว่าห่างจากจุดเริ่มต้นเป็นระยะ
เท่าไร และอยู่ทางทิศไหนของจุดเริ่มต้น ดังนั้นการกระจัดเป็น ปริมาณเวกเตอร์ เพราะมีทั้งขนาดและทิศทาง
*********ถ้าวัตถุเคลื่อนที่กลับมาสู่จุดเริ่มต้น การกระจัดจะมีค่าเป็นศูนย์**********
3. เวลา (Time) การวัดเวลาเรานับ ณ จุดเริ่มสังเกต ซึ่งขณะนั้นวัตถุอาจจะหยุดนิ่ง หรือเคลื่อนที่อยู่ก็ตาม ค่าของเวลาจะมีความสัมพันธ์กับระยะทาง เมื่อเวลาผ่านไป ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ก็จะเพิ่มขึ้น ในบางครั้งอาจจะมีข้อมูลของระยะทางกับเวลาสัมพันธ์กัน
4. อัตราเร็ว (Speed) หมายถึง ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา เป็นปริมาณสเกลาร์ มีหน่วยเป็น เมตร/วินาที
 
V แทน อัตราเร็ว มีหน่วยเป็น เมตร/วินาที (m/s)
S แทน ระยะทาง มีหน่วยเป็น เมตร (m)
t แทน เวลา มีหน่วยเป็น วินาที (s )
5. ความเร็ว (Velocity) หมายถึง การกระจัดของวัตถุที่เปลี่ยนไปในหน่วยเวลา

 แทน ความเร็ว มีหน่วยเป็น เมตร/วินาที (m/s)
 แทน การกระจัด มีหน่วยเป็น เมตร (m)
t แทน เวลา มีหน่วยเป็น วินาที (s )
6. ความเร่ง (Acceleration) ความเร็วที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา

 แทน ความเร่ง มีหน่วยเป็น เมตร/วินาที2 (m/s2 )
 แทนความเร็วที่เปลี่ยนไป มีหน่วยเป็น เมตร/ วินาที(m/s)
 แทน เวลา มีหน่วยเป็น วินาที (s )
ลักษณะของการเคลื่อนที่ลักษณะของการเคลื่อนที่แบ่งได้ 4 ลักษณะ คือ
1. การเคลื่อนที่เป็นแนวเส้นตรง
ลักษณะของการเคลื่อนที่แบบนี้เป็นพื้นฐานของการเคลื่อนที่ เพราะทิศทางการเคลื่อนที่จะมีทิศทางเดียว
แต่อาจจะเคลื่อนที่ไป-กลับได้ รูปแบบการเคลื่อนที่อาจจะแตกต่างกันออกไป ตัวอย่างเช่น
- การเคลื่อนที่ของรถไฟบนราง
- การเคลื่อนที่ของรถบนถนนที่เป็นแนวเส้นตรง
- การเคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก
2. การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
เป็นการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีแนวเส้นทางการเคลื่อนที่เป็นรูปโค้งพาราโบลา และเป็นพาราโบลาทางแกน y
ที่มีลักษณะคว่ำการที่วัตถุเคลื่อนที่เป็นแนวเส้นโค้งเนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่เข้าไปในบริเวณที่มีแรงกระทำต่อ
วัตถุไม่อยู่ในแนวเดียวกับทิศของการเคลื่อนที่
3. การเคลื่อนที่แบบวงกลม
เป็นการเคลื่อนที่ของวัตถุรอบจุดๆหนึ่ง โดยมีรัศมีคงที่ การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
ทิศทางของการเคลื่อนที่จะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ความเร็วของวัตถุจะเปลี่ยนไปตลอดเวลา ทิศของแรงที่กระทำจะตั้งฉากกับทิศของการเคลื่อนที่
แรงที่กระทำต่อวัตถุจะมีทิศทางเข้าสู่ศูนย์กลาง เราจึงเรียกว่า “แรงสู่ศูนย์กลาง”
ในขณะเดียวกัน จะมีแรงต้านที่ไม่ให้วัตถุเข้าสู่ศูนย์กลาง เราเรียกว่า “แรงหนีศูนย์กลาง” แรงหนีศูนย์กลางจะเท่ากับแรงสู่ศูนย์กลาง วัตถุจึงจะเคลื่อนที่เป็นวงกลมได้
4. การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
ลักษณะของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย จะเป็นการเคลื่อนที่ที่มีลักษณะ
พิเศษ คือ วัตถุจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมาที่เราเรียกว่า แกว่ง หรือ สั่น การเคลื่อนที่แบบนี้จะเป็นการเคลื่อนที่อยู่ในช่วงสั้นๆ มีขอบเขตจำกัด เราเรียกว่า แอมพลิจูด (Amplitude) โดยนับจากตำแหน่งสมดุล ซึ่งอยู่ตรงจุดกลางวัดไปทางซ้ายหรือขวา เช่น การแกว่งของชิงช้า หรือยานไวกิงในสวนสนุก
รูป การสั่นและแกว่งของวัตถุ



 ระยะทาง -    




      

ระยะทางกับระยะกระจัด

การเปรียบเทียบระหว่างระยะทาง (สีม่วง) กับระยะกระจัด (สีเขียว)
ระยะทางเป็นปริมาณสเกลาร์ที่ไม่สามารถเป็นจำนวนลบ และมีเพียงขนาด (magnitude) ในขณะที่ระยะกระจัด (displacement) จะเทียบเท่ากับปริมาณเวกเตอร์ที่มีทั้งขนาดและทิศทาง
ระยะทางที่นับโดยยานพาหนะ (ด้วยมาตรระยะทาง) หรือโดยคน สัตว์ สิ่งของ ฯลฯ ควรแยกแยะออกจากระยะกระจัดระหว่างจุดเริ่มต้นถึงจุดสิ้นสุด ถึงแม้ว่าจะหมายถึงระยะทางที่สั้นที่สุดก็ตาม เนื่องจากเส้นทางอาจมีการวนรอบ ซึ่งจุดสิ้นสุดสามารถเป็นจุดเดียวกับจุดเริ่มต้นก็ได้









การกระจัด -  










การกระจัด หรือ การขจัด คือระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุด [1] ระยะทางที่สั้นที่สุดก็คือความยาวของเส้นตรงสมมติที่ลากจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุด ดังนั้นมันจึงอาจแตกต่างจากเส้นทางเดินปกติก็ได้ เวกเตอร์การกระจัด ก็คือความยาวและทิศทางของเส้นตรงสมมติดังกล่าว
เวกเตอร์ตำแหน่งเป็นตัวบ่งชี้ตำแหน่งของจุด P ในปริภูมิ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการกระจัดจากจุดอ้างอิง O (โดยทั่วไปจะเป็นจุดกำเนิดของระบบพิกัด) เวกเตอร์ตำแหน่งแสดงให้เห็นว่า ถ้าเคลื่อนที่ไปในแนวเส้นตรงโดยเริ่มจากจุด O ด้วยระยะทางและทิศทางนั้น ก็จะพบกับจุด P ที่ปลายทาง
การกระจัดอาจถูกเรียกว่าเป็น เวกเตอร์ตำแหน่งสัมพัทธ์ กล่าวคือ เมื่อเวกเตอร์ตำแหน่งสิ้นสุด Rf สัมพันธ์กับเวกเตอร์ตำแหน่งเริ่มต้น Ri เวกเตอร์การกระจัดสามารถนิยามขึ้นได้จากผลต่างระหว่างเวกเตอร์สิ้นสุดกับเวกเตอร์เริ่มต้น ดังนี้ (สัญกรณ์ตัวหนาหมายถึงเวกเตอร์)
\boldsymbol{s}=\boldsymbol{R_f-R_i}=\Delta\boldsymbol{R}



        

อัตราเร็ว -   
ความเร็ว - 








ความเร็วเฉลี่ยและอัตราเร็วเฉลี่ย

          โดยนิยามหรือข้อกำหนด ความเร็ว (Velocity) คือ การเปลี่ยนตำแหน่งต่อเวลา สำหรับ
  ช่วงเวลาที่ยาว ความเร็วที่คิดจากการเปลี่ยนตำแหน่งในช่วงเวลานั้นหารด้วยช่วงเวลาถือว่า
  เป็นความเร็วเฉลี่ย (Average Velocity)ความเร็วเฉลี่ยเป็นเสมือนความเร็วที่การเปลี่ยนแปลง   ในช่วงเวลาที่วัดมีค่าเดียวที่สม่ำเสมอ ความ เร็วเฉลี่ยที่มีทิศทางจาก ไป คือ

                                                 

           สำหรับคำว่าอัตราเร็ว (Speed) มีความหมายที่แตกต่างไปจากความเร็วคือ   อัตราเร็ว   จะคิดจาก ระยะทาง ของการเคลื่อนที่ทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงทิศทางนั่นคือใช้อัตราเร็วใน   ลักษณะที่เป็นสเกลาร์ (Scalar) ในขณะที่ ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ (Vector) อัตราเร็ว
  เฉลี่ย (Average Speed) สำหรับการเคลื่อนที่จาก ไป  ดังรูป 2 จะมีขนาดเท่ากับ   ระยะทางจาก ไป  หารด้วยเวลา ซึ่งจะให้ผลเท่ากับขนาดของความเร็วเฉลี่ยแต่อัตรา   เร็วเฉลี่ยอาจ จะแตกต่างไปจากขนาดของความเร็วเฉลี่ยได้โดยเฉพาะกรณีที่วัตถุเคลื่อน
  ที่เลย ไปถึง   แล้วย้อนกลับมา ดังรูป 2 โดยใช้เวลาทั้งหมด เท่าเดิม   ถ้าเป็นเช่นนั้น    อัตราเร็วเฉลี่ย   ซึ่งเป็นระยะทางทั้งหมดที่เคลื่อนที่ (จากไป  แล้วจาก   กลับมา )   หารด้วยเวลาจะมีค่า  เพิ่มขึ้นมากและต่างจากขนาดของความเร็วอย่างเห็น   ได้ชัด




ในทางฟิสิกส์ ความเร็ว คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งต่อหน่วยเวลา มีหน่วยเป็นเมตรต่อวินาที (m/s) ในหน่วยเอสไอ ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ซึ่งประกอบด้วยอัตราเร็วและทิศทาง ขนาดของความเร็วคืออัตราเร็วซึ่งเป็นปริมาณสเกลาร์ ตัวอย่างเช่น "5 เมตรต่อวินาที" เป็นอัตราเร็ว ในขณะที่ "5 เมตรต่อวินาทีไปทางทิศตะวันออก" เป็นความเร็ว ความเร็วเฉลี่ย v ของวัตถุที่เคลื่อนที่ไปด้วยการกระจัดขนาดหนึ่ง ∆x ในช่วงเวลาหนึ่ง ∆t สามารถอธิบายได้ด้วยสูตรนี้
\mathbf{\bar{v}} = \frac{\Delta \mathbf{x}}{\Delta t}
อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วคือความเร่ง คือการอธิบายว่าอัตราเร็วและทิศทางของวัตถุเปลี่ยนไปอย่างไรในช่วงเวลาหนึ่ง และเปลี่ยนไปอย่างไร ณ เวลาหนึ่ง

[แก้]สมการการเคลื่อนที่

ดูบทความหลักที่ สมการการเคลื่อนที่
เวกเตอร์ความเร็วขณะหนึ่ง v ของวัตถุที่มีตำแหน่ง x (t) ณ เวลา t และตำแหน่ง x (t + ∆t) ณ เวลา t + ∆t สามารถคำนวณได้จากอนุพันธ์ของตำแหน่ง
\mathbf{v} = \lim_{\Delta t \to 0}{{\mathbf{x}(t+\Delta t)-\mathbf{x}(t)} \over \Delta t} = {\mathrm{d}\mathbf{x} \over \mathrm{d}t}
สมการของความเร็วของวัตถุยังสามารถหาได้จากปริพันธ์ของสมการของความเร่ง ที่วัตถุเคลื่อนที่ตั้งแต่เวลา t0 ไปยังเวลา tn
วัตถุที่มีความเร็วเริ่มต้นเป็น u มีความเร็วสุดท้ายเป็น v และมีความเร่งคงตัว a ในช่วงเวลาหนึ่ง ∆t ความเร็วสุดท้ายหาได้จาก
\mathbf{v} = \mathbf{u} + \mathbf{a} \Delta t
ความเร็วเฉลี่ยอันเกิดจากความความเร่งคงตัวจึงเป็น \tfrac {(\mathbf{u} + \mathbf{v})}{2} ตำแหน่ง x ที่เปลี่ยนไปของวัตถุดังกล่าวในช่วงเวลานั้นหาได้จาก
\Delta \mathbf{x} = \frac {( \mathbf{u} + \mathbf{v} )}{2} \Delta t
กรณีที่ทราบเพียงความเร็วเริ่มต้นของวัตถุเพียงอย่างเดียว คำนวณได้ดังนี้
\Delta \mathbf{x} = \mathbf{u} \Delta t + \frac{1}{2}\mathbf{a} \Delta t^2
และเมื่อต้องการหาตำแหน่ง ณ เวลา t ใด ๆ ก็สามารถขยายนิพจน์ได้ดังนี้
\mathbf{x}(t) = \mathbf{x}(0) + \Delta \mathbf{x} = \mathbf{x}(0) + \mathbf{u} \Delta t  + \frac{1}{2}\mathbf{a} \Delta t^2



       






อัตราเร่ง -






          
ความเร่ง -  

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น