วันอาทิตย์ที่ 15 กรกฎาคม พ.ศ. 2555

การเครื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ -

เรื่อง การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ -

การเคลื่อนที่ คือ การที่วัตถุย้ายตำแหน่งจากที่เดิมไปอยู่ที่ตำแหน่งใหม่ ปริมาณที่ใช้บอกขนาดของการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ ระยะทางและการกระจัด

ระยะทาง คือ ความยาวที่วัดตามเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ จัดเป็นปริมาณสเกลลาร์

การกระจัด คือ ระยะที่วัดจากจุดตั้งต้นของการเคลื่อนที่ ตรงไปยังตำแหน่งที่วัตถุอยู่ในขณะนั้น โดยไม่สนใจว่าวัตถุจะมีเส้นทางการเคลื่อนที่เป็นอย่างไร จัดเป็นปริมาณเวกเตอร์

ปริมาณทางฟิสิกส์ -

1. ปริมาณสเกลาร์ ( Scalar )

คือ ปริมาณที่จะมีแต่ขนาดเท่านั้น ไม่มีทิศทาง การคำนวณสามารถบวก ลบ คูณ หาร ได้ทั่ว ๆ ไป

ตัวอย่าง ปริมาณสเกลาร์ เช่น ระยะทาง ( Distance ) มวล ( Mass ) อัตราเร็ว ( Speed ) ความหนาแน่น ( Density )

2. ปริมาณเวกเตอร์ ( Vector )

คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาด และทิศทาง การคำนวณจะใช้วิธีต่าง ๆ ที่แตกต่างจากการคำนวณทั่วไป

ตัวอย่าง ปริมาณเวกเตอร์ เช่น การกระจัด ( Displacement ) แรง ( Force ) ความเร็ว ( Velocity )

ความเร่ง ( Acceleration )

การรวมเวกเตอร์

คือ การบวกหรือลบกันของเวกเตอร์ตั้งแต่ 2 เวกเตอร์ขึ้นไป ผลลัพธ์ที่ได้เป็นปริมาณเวกเตอร์

เรียกว่า เวกเตอร์ลัพธ์ ( Resultant Vector )

มี 2 วิธีดังนี้

1) วิธีวาดรูป ( วิธีหัวต่อหาง )

ทำได้ โดยนำเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้ง จากนั้นเอาหางของเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกหรือผลต่าง มาต่อกับหัวของเวกเตอร์ตัวตั้ง

โดยเขียนให้ถูกต้องทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ลัพธ์หาได้จาก หางเวกเตอร์แรก ไปยังหัวเวกเตอร์สุดท้าย

ที่มา : http://www.rsu.ac.th/science/physics/kan/general_phy/vector/ve1.gif

จากรูป ใช้กฏของโคไซน์ ( Cosine's Law ) จะได้ว่า

2) วิธีการทางคณิตศาสตร์ ( วิธีการสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน )

ถ้ามีเวกเตอร์ย่อย 2 อัน สามารถนำมารวมได้โดยแทนขนาดและทิศทาง ด้วยด้านทั้งสองของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ที่ประกอบมุมในจุดนั้น เส้นทแยงมุมที่ลากจากจุดนั้นไปยังมุมตรงข้ามจะแทนทั้งขนาด และทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์

ที่มา : http://www.rsu.ac.th/science/physics/kan/general_phy/vector/ve2.gif

การหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์หาได้จาก

ส่วนการลบเวกเตอร์ให้ทำคล้าย ๆ กันกับการบวกเวกเตอร์เพียงแต่ให้กลับทิศทางของเวกเตอร์ตัวลบ

ปริมาณเวกเตอร์ -

ปริมาณ

ปริมาณแบ่งออกเป็น 2 ชนิด

ได้แก่

1. ปริมาณสเกลาร์ (scalar quantity)

เป็นปริมาณที่บอกให้ทราบขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น ความสูง น้ำหนัก เป็นต้น

2. ปริมาณเวกเตอร์ (vector quantity)

เป็นปริมาณที่บอกให้ทราบทั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรงและโมเมนตัม ความเร็ว ความเร่ง เป็นต้น

ปริมาณเวกเตอร์

ปริมาณเวกเตอร์ เขียนแทนได้ด้วย ส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทาง (derected line segment)

โดยใช้ความยาวของส่วนของเส้นตรงแทนขนาดของเวกเตอร์ และใช้ลูกศรในการบอกทิศทางของเวกเตอร์ ดังรูป

ตัวอย่างการเขียนเวกเตอร์ 1

การเคลื่อนที่ของวัตถุ -

ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่
ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่จะเป็นพื้นฐานในการศึกษาเรื่องของการเคลื่อนที่ ซึ่งในการเคลื่อนที่จะต้องประกอบไปด้วยองค์ประกอบ 3 ส่วน

Y วัตถุที่เคลื่อนที่ จะหมายจึงวัตถุที่มีลักษณะเป็นของแข็งที่คงรูปทรงอยู่ได้

Y ผู้สังเกต เป็นผู้ที่ศึกษาวัตถุที่เคลื่อนที่ โดยผู้สังเกตจะต้องอยู่นอกวัตถุที่เคลื่อนที่

Y จุดอ้างอิง การเคลื่อนที่ของวัตถุจะต้องมีการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุดังนั้นเราจะต้องมีจุดอ้างอิง
เพื่อบอกตำแหน่งของวัตถุเมื่อเวลาผ่านไป

1. ระยะทาง (Distance) การเคลื่อนที่ของวัตถุจะเริ่มนับตั้งแต่จุดเริ่มต้นที่เราสังเกตเป็นจุดอ้างอิงแล้ววัดระยะทางตามแนวทางที่วัตถุเคลื่อนที่
ไปตามแนวทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ

2. การกระจัด (Displacement) เป็นการบอกตำแหน่งของวัตถุหลังจากการที่เคลื่อนที่ไปแล้วในช่วงเวลาหนึ่งโดยจะบอกว่าห่างจากจุดเริ่มต้นเป็นระยะ
เท่าไร และอยู่ทางทิศไหนของจุดเริ่มต้น ดังนั้นการกระจัดเป็น ปริมาณเวกเตอร์ เพราะมีทั้งขนาดและทิศทาง
*********ถ้าวัตถุเคลื่อนที่กลับมาสู่จุดเริ่มต้น การกระจัดจะมีค่าเป็นศูนย์**********

3. เวลา (Time) การวัดเวลาเรานับ ณ จุดเริ่มสังเกต ซึ่งขณะนั้นวัตถุอาจจะหยุดนิ่ง หรือเคลื่อนที่อยู่ก็ตาม ค่าของเวลาจะมีความสัมพันธ์กับระยะทาง เมื่อเวลาผ่านไป ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ก็จะเพิ่มขึ้น ในบางครั้งอาจจะมีข้อมูลของระยะทางกับเวลาสัมพันธ์กัน

4. อัตราเร็ว (Speed) หมายถึง ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา เป็นปริมาณสเกลาร์ มีหน่วยเป็น เมตร/วินาที

V แทน อัตราเร็ว มีหน่วยเป็น เมตร/วินาที (m/s)

S แทน ระยะทาง มีหน่วยเป็น เมตร (m)

t แทน เวลา มีหน่วยเป็น วินาที (s )

5. ความเร็ว (Velocity) หมายถึง การกระจัดของวัตถุที่เปลี่ยนไปในหน่วยเวลา

แทน ความเร็ว มีหน่วยเป็น เมตร/วินาที (m/s)

แทน การกระจัด มีหน่วยเป็น เมตร (m)

t แทน เวลา มีหน่วยเป็น วินาที (s )

6. ความเร่ง (Acceleration) ความเร็วที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลา

แทน ความเร่ง มีหน่วยเป็น เมตร/วินาที2 (m/s2 )

แทนความเร็วที่เปลี่ยนไป มีหน่วยเป็น เมตร/ วินาที(m/s)

แทน เวลา มีหน่วยเป็น วินาที (s )

ลักษณะของการเคลื่อนที่ลักษณะของการเคลื่อนที่แบ่งได้ 4 ลักษณะ คือ

1. การเคลื่อนที่เป็นแนวเส้นตรง
ลักษณะของการเคลื่อนที่แบบนี้เป็นพื้นฐานของการเคลื่อนที่ เพราะทิศทางการเคลื่อนที่จะมีทิศทางเดียว
แต่อาจจะเคลื่อนที่ไป-กลับได้ รูปแบบการเคลื่อนที่อาจจะแตกต่างกันออกไป ตัวอย่างเช่น

- การเคลื่อนที่ของรถไฟบนราง

- การเคลื่อนที่ของรถบนถนนที่เป็นแนวเส้นตรง

- การเคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก

2. การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
เป็นการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีแนวเส้นทางการเคลื่อนที่เป็นรูปโค้งพาราโบลา และเป็นพาราโบลาทางแกน y
ที่มีลักษณะคว่ำการที่วัตถุเคลื่อนที่เป็นแนวเส้นโค้งเนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่เข้าไปในบริเวณที่มีแรงกระทำต่อ
วัตถุไม่อยู่ในแนวเดียวกับทิศของการเคลื่อนที่

3. การเคลื่อนที่แบบวงกลม
เป็นการเคลื่อนที่ของวัตถุรอบจุดๆหนึ่ง โดยมีรัศมีคงที่ การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
ทิศทางของการเคลื่อนที่จะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ความเร็วของวัตถุจะเปลี่ยนไปตลอดเวลา ทิศของแรงที่กระทำจะตั้งฉากกับทิศของการเคลื่อนที่
แรงที่กระทำต่อวัตถุจะมีทิศทางเข้าสู่ศูนย์กลาง เราจึงเรียกว่า “แรงสู่ศูนย์กลาง”
ในขณะเดียวกัน จะมีแรงต้านที่ไม่ให้วัตถุเข้าสู่ศูนย์กลาง เราเรียกว่า “แรงหนีศูนย์กลาง” แรงหนีศูนย์กลางจะเท่ากับแรงสู่ศูนย์กลาง วัตถุจึงจะเคลื่อนที่เป็นวงกลมได้

4. การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
ลักษณะของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย จะเป็นการเคลื่อนที่ที่มีลักษณะ
พิเศษ คือ วัตถุจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมาที่เราเรียกว่า แกว่ง หรือ สั่น การเคลื่อนที่แบบนี้จะเป็นการเคลื่อนที่อยู่ในช่วงสั้นๆ มีขอบเขตจำกัด เราเรียกว่า แอมพลิจูด (Amplitude) โดยนับจากตำแหน่งสมดุล ซึ่งอยู่ตรงจุดกลางวัดไปทางซ้ายหรือขวา เช่น การแกว่งของชิงช้า หรือยานไวกิงในสวนสนุก

รูป การสั่นและแกว่งของวัตถุ

ระยะทาง -

ระยะทางกับระยะกระจัด

การเปรียบเทียบระหว่างระยะทาง (สีม่วง) กับระยะกระจัด (สีเขียว)

ระยะทางเป็นปริมาณสเกลาร์ที่ไม่สามารถเป็นจำนวนลบ และมีเพียงขนาด (magnitude) ในขณะที่ระยะกระจัด (displacement) จะเทียบเท่ากับปริมาณเวกเตอร์ที่มีทั้งขนาดและทิศทาง

ระยะทางที่นับโดยยานพาหนะ (ด้วยมาตรระยะทาง) หรือโดยคน สัตว์ สิ่งของ ฯลฯ ควรแยกแยะออกจากระยะกระจัดระหว่างจุดเริ่มต้นถึงจุดสิ้นสุด ถึงแม้ว่าจะหมายถึงระยะทางที่สั้นที่สุดก็ตาม เนื่องจากเส้นทางอาจมีการวนรอบ ซึ่งจุดสิ้นสุดสามารถเป็นจุดเดียวกับจุดเริ่มต้นก็ได้

การกระจัด -

การกระจัด หรือ การขจัด คือระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุด ^[1] ระยะทางที่สั้นที่สุดก็คือความยาวของเส้นตรงสมมติที่ลากจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุด ดังนั้นมันจึงอาจแตกต่างจากเส้นทางเดินปกติก็ได้ เวกเตอร์การกระจัด ก็คือความยาวและทิศทางของเส้นตรงสมมติดังกล่าว

เวกเตอร์ตำแหน่งเป็นตัวบ่งชี้ตำแหน่งของจุด P ในปริภูมิ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการกระจัดจากจุดอ้างอิง O (โดยทั่วไปจะเป็นจุดกำเนิดของระบบพิกัด) เวกเตอร์ตำแหน่งแสดงให้เห็นว่า ถ้าเคลื่อนที่ไปในแนวเส้นตรงโดยเริ่มจากจุด O ด้วยระยะทางและทิศทางนั้น ก็จะพบกับจุด P ที่ปลายทาง

การกระจัดอาจถูกเรียกว่าเป็น เวกเตอร์ตำแหน่งสัมพัทธ์ กล่าวคือ เมื่อเวกเตอร์ตำแหน่งสิ้นสุด R_f สัมพันธ์กับเวกเตอร์ตำแหน่งเริ่มต้น R_i เวกเตอร์การกระจัดสามารถนิยามขึ้นได้จากผลต่างระหว่างเวกเตอร์สิ้นสุดกับเวกเตอร์เริ่มต้น ดังนี้ (สัญกรณ์ตัวหนาหมายถึงเวกเตอร์)

$\boldsymbol{s}=\boldsymbol{R_f-R_i}=\Delta\boldsymbol{R}$

อัตราเร็ว -
ความเร็ว -

ความเร็วเฉลี่ยและอัตราเร็วเฉลี่ย

          โดยนิยามหรือข้อกำหนด ความเร็ว (Velocity) คือ การเปลี่ยนตำแหน่งต่อเวลา สำหรับ
  ช่วงเวลาที่ยาว ความเร็วที่คิดจากการเปลี่ยนตำแหน่งในช่วงเวลานั้นหารด้วยช่วงเวลาถือว่า
  เป็นความเร็วเฉลี่ย (Average Velocity)ความเร็วเฉลี่ยเป็นเสมือนความเร็วที่การเปลี่ยนแปลง   ในช่วงเวลาที่วัดมีค่าเดียวที่สม่ำเสมอ ความ เร็วเฉลี่ยที่มีทิศทางจาก

ไป

คือ

สำหรับคำว่าอัตราเร็ว (Speed) มีความหมายที่แตกต่างไปจากความเร็วคือ อัตราเร็ว จะคิดจาก ระยะทาง ของการเคลื่อนที่ทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงทิศทางนั่นคือใช้อัตราเร็วใน ลักษณะที่เป็นสเกลาร์ (Scalar) ในขณะที่ ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ (Vector) อัตราเร็ว
เฉลี่ย (Average Speed) สำหรับการเคลื่อนที่จาก

ไป

ดังรูป 2 จะมีขนาดเท่ากับ ระยะทางจาก

ไป

หารด้วยเวลา ซึ่งจะให้ผลเท่ากับขนาดของความเร็วเฉลี่ยแต่อัตรา เร็วเฉลี่ยอาจ จะแตกต่างไปจากขนาดของความเร็วเฉลี่ยได้โดยเฉพาะกรณีที่วัตถุเคลื่อน
ที่เลย

ไปถึง

แล้วย้อนกลับมา

ดังรูป 2 โดยใช้เวลาทั้งหมด

เท่าเดิม ถ้าเป็นเช่นนั้น อัตราเร็วเฉลี่ย ซึ่งเป็นระยะทางทั้งหมดที่เคลื่อนที่ (จาก

ไป

แล้วจาก

กลับมา

) หารด้วยเวลาจะมีค่า เพิ่มขึ้นมากและต่างจากขนาดของความเร็วอย่างเห็น ได้ชัด

ในทางฟิสิกส์ ความเร็ว คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งต่อหน่วยเวลา มีหน่วยเป็นเมตรต่อวินาที (m/s) ในหน่วยเอสไอ ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ซึ่งประกอบด้วยอัตราเร็วและทิศทาง ขนาดของความเร็วคืออัตราเร็วซึ่งเป็นปริมาณสเกลาร์ ตัวอย่างเช่น "5 เมตรต่อวินาที" เป็นอัตราเร็ว ในขณะที่ "5 เมตรต่อวินาทีไปทางทิศตะวันออก" เป็นความเร็ว ความเร็วเฉลี่ย v ของวัตถุที่เคลื่อนที่ไปด้วยการกระจัดขนาดหนึ่ง ∆x ในช่วงเวลาหนึ่ง ∆t สามารถอธิบายได้ด้วยสูตรนี้

$\mathbf{\bar{v}} = \frac{\Delta \mathbf{x}}{\Delta t}$

อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วคือความเร่ง คือการอธิบายว่าอัตราเร็วและทิศทางของวัตถุเปลี่ยนไปอย่างไรในช่วงเวลาหนึ่ง และเปลี่ยนไปอย่างไร ณ เวลาหนึ่ง

[แก้]สมการการเคลื่อนที่

ดูบทความหลักที่ สมการการเคลื่อนที่

เวกเตอร์ความเร็วขณะหนึ่ง v ของวัตถุที่มีตำแหน่ง x (t) ณ เวลา t และตำแหน่ง x (t + ∆t) ณ เวลา t + ∆t สามารถคำนวณได้จากอนุพันธ์ของตำแหน่ง

$\mathbf{v} = \lim_{\Delta t \to 0}{{\mathbf{x}(t+\Delta t)-\mathbf{x}(t)} \over \Delta t} = {\mathrm{d}\mathbf{x} \over \mathrm{d}t}$

สมการของความเร็วของวัตถุยังสามารถหาได้จากปริพันธ์ของสมการของความเร่ง ที่วัตถุเคลื่อนที่ตั้งแต่เวลา t₀ ไปยังเวลา t_n

วัตถุที่มีความเร็วเริ่มต้นเป็น u มีความเร็วสุดท้ายเป็น v และมีความเร่งคงตัว a ในช่วงเวลาหนึ่ง ∆t ความเร็วสุดท้ายหาได้จาก

$\mathbf{v} = \mathbf{u} + \mathbf{a} \Delta t$

ความเร็วเฉลี่ยอันเกิดจากความความเร่งคงตัวจึงเป็น $\tfrac {(\mathbf{u} + \mathbf{v})}{2}$ ตำแหน่ง x ที่เปลี่ยนไปของวัตถุดังกล่าวในช่วงเวลานั้นหาได้จาก

$\Delta \mathbf{x} = \frac {( \mathbf{u} + \mathbf{v} )}{2} \Delta t$

กรณีที่ทราบเพียงความเร็วเริ่มต้นของวัตถุเพียงอย่างเดียว คำนวณได้ดังนี้

$\Delta \mathbf{x} = \mathbf{u} \Delta t + \frac{1}{2}\mathbf{a} \Delta t^2$

และเมื่อต้องการหาตำแหน่ง ณ เวลา t ใด ๆ ก็สามารถขยายนิพจน์ได้ดังนี้

$\mathbf{x}(t) = \mathbf{x}(0) + \Delta \mathbf{x} = \mathbf{x}(0) + \mathbf{u} \Delta t + \frac{1}{2}\mathbf{a} \Delta t^2$

อัตราเร่ง -

ความเร่ง -

วันอังคารที่ 10 กรกฎาคม พ.ศ. 2555

การเครื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ

การเครื่อนที่ในหนึ่งมิติและสองมิติ -
ปริมาณทางฟิสิกส์ -

ปริมาณเวกเตอร์ -

การเคลื่อนที่ของวัตถุ -
ระยะทาง -

ระยะทาง -
การกระจัด -
อัตราเร็ว -
ความเร็ว -
อัตราเร่ง -
ความเร่ง -        ...

วันพฤหัสบดีที่ 5 กรกฎาคม พ.ศ. 2555

เรื่อง การเคลื่อนที่แบบต่างๆ

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (Motion of a Projectile) คือ การเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นแนวโค้ง ในกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่อย่าง

เสรีด้วยแรงโน้มถ่วงคงที่ เช่น วัตถุเคลื่อนที่ไปในอากาศภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก ทางเดินของวัตถุจะเป็นรูปพาราโบลา

การเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์มีลักษณะ ดังนี้

1. การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีแนวการเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งพาราโบลา เนื่องจากค่าการกระจัดในแนวดิ่งแปรผันตามกับค่ากำลังสองของการกระจัดในแนวระดับ หรือ Sy = kSx²ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ของกราฟพาราโบลา

2. การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นั้น เสมือนกับว่าประกอบไปด้วยการเคลื่อนที่ทั้งในแนวดิ่ง (แกน y) และในแนวระดับ (แกน x) ไปพร้อมๆกัน

1) แรงลัพธ์ในแนวระดับ (แกน x) ที่กระทำต่อวัตถุมีค่าเป็นศุนย์ แสดงว่า วัตถุจะมีความเร็วในแนวระดับคงตัว สามารถคำนวณจากสูตร

2) เนื่องจากแรงลัพธ์ในแนวดิ่ง (แกน y) ที่กระทำต่อวัตถุมีค่าเท่ากับ mg แสดงว่า วัตถุจะมีความเร่งของการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง มีทิศลงเป็น g สามารถคำนวณจากสูตร

3. การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง (แกน y) และแนวระดับ (แกน x) จะเท่ากันเสมอ เนื่องจากเกิดขึ้นพร้อมกัน

4. การกระจักลัพธ์ และทิศทาง สามารถคำนวณจาก

5. ความเร็วของวัตถุในแนวเส้นสัมผัส สามารถคำนวณจาก

การคำนวณการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

การเคลื่อนที่แบบวงกลม

Q: ความเร็วเชิงมุม

เป็นปริมาณเวกเตอร์หรือสเกลาร์?A: ระยะทาง s บนเส้นทางการเคลื่อนที่แบบวงกลม เป็นปริมาณเวกเตอร์ ส่วนประกอบย่อย ds ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของวงกลม ก็เป็นปริมาณเวกเตอร์ จากนิยาม ความเร็วเชิงมุมคือ

= ds/dt = (1/dt) ds, ds เป็นเวกเตอร์และ dt เป็นสเกลาร์ ผลคูณของ (1/dt) ds จึงเป็นเวกเตอร์ ดังนั้น

จึงเป็นปริมาณเวกเตอร์

Q: แรงสู่ศูนย์กลาง(centripetal) และ แรงหนีศูนย์กลาง(centrifugal) ต่างกันอย่างไร?

A: ความแตกต่างของคำทั้งสอง ก็คือ แรงสู่ศูนย์กลางมีอยู่จริง ส่วนแรงหนีศูนย์กลางไม่มี

เพื่อความเข้าใจเกี่ยวกับแรงสู่ศูนย์กลางและ แรงหนีศูนย์กลางเรามาดูที่มาของคำศัพท์ centripetal และcentrifugal.

centri มาจากภาษาละติน centr หมายถึง "ศูนย์กลาง"

petal มาจากภาษาละติน petere หมายถึง "เข้าสู่"

fugal มาจากภาษาละติน fugere หมายถึง "หนีห่าง"

ดังนั้น centripetal force คือ "แรงสู่ศูนย์กลาง" ส่วน centrifugal force คือแรงที่ไม่เข้าสู่ศูนย์กลางหรือ "แรงหนีศูนย์กลาง" ตอนนี้เราทราบคำจำกัดความแล้ว เราตั้งคำถาม " แรงสู่ศูนย์กลางหรือแรงหนีศูนย์กลาง ที่ทำให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลม ?"

รูปที่ 1: แผนภาพของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เป็นวงกลม

กำหนดให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมอยู่ตลอดเวลา เวกเตอร์ความเร็วของวัตถุนี้เปลี่ยนทิศทางตลอด ขณะที่มันเคลื่อนที่เป็นวงกลม ผลที่ได้คือความเร่งของการเคลื่อนที่ เพราะทิศเวกเตอร์ความเร็วเปลี่ยน ถึงแม้ว่าขนาดของความเร็ว (อัตราเร็ว)ยังคงที่ ปัญหานี้นำไปสู่การหาแรงและความเร่งที่ทำให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลม

พิจารณาตำแหน่งของวัตถุ เริ่มต้นที่ A และไปที่ตำแหน่ง B ในช่วงเวลา t (รูปที่ 1) เวกเตอร์ความเร็วที่ A และ B แสดงดังรูปคือ v₀ และ v_f ตามลำดับ ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ในช่วงเวลา t คือ s ในตัวอย่างนี้ ขนาดของความเร็ว (อัตราเร็ว) คงที่ การเคลื่อนที่ของวัตถุแบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ (v), เรียกว่า "uniform circular motion".

จาก สมการ F = ma, มี 2 เวกเตอร์คือ F และ a, มวล m เป็นปริมาณสเกลาร์ ดังนั้นไม่มีผลต่อทิศทางของแรง F ดังนั้นความเร่งมีทิศเดียวกับแรง F.

ความเร่ง, a, คืออัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วเทียบกับเวลา

a = v / t

ความเร่งเป็นปริมาณเวกเตอร์,

v คูณด้วยปริมาณสเกลาร์ 1/

t ดังนั้น ทิศทางของความเร่งจึงมีทิศเดียวกับการเปลี่ยนแปลงความเร็ว

v และจะได้ว่าทิศของแรง F ก็มีทิศเดียวกับการเปลี่ยนแปลงความเร็ว

v ด้วย

F || a || v.

เราได้หาทิศทางของแรง F แล้ว ซึ่งเป็นทิศทางของความเร่ง a และทิศของการเปลี่ยนความเร็ว

คำถามว่า "เวกเตอร์การเปลี่ยนแปลงความเร็ว"

v ได้จากอะไร?

" แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของปริมาณใดๆ โดยเอาปริมาณสุดท้ายลบด้วยปริมาณเริ่มต้น ดังนั้นเวกเตอร์การเปลี่ยนแปลงความเร็วคือเวกเตอร์ความเร็วสุดท้ายลบเวกเตอร์ความเร็วเริ่มต้น:

v = v_f - v₀

รูปที่ 2:

v = v_f -v₀

หาเวกเตอร์

v ได้จากรูปที่ 2 โดยเลื่อนจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั้งสอง (v_f และ v₀) มาไว้ที่จุดเดียวกัน (เนื่องจากเวกเตอร์กำหนดเฉพาะขนาดและทิศทาง ไม่ต้องคำนึงถึงจุดเริ่มต้น ) รูปที่ 2 สีแดงแสดงเวกเตอร์ v

เขียนเวกเตอร์ F || a ||

v ดังรูป 3 a - สีฟ้า F- สีเขียว และ

v - สีแดง ทั้งหมดอยู่ในทิศทางเดียวกัน

สังเกต ทิศของเวกเตอร์ทั้งสามนี้ล้วนมีทิศเข้าหาศูนย์กลางของวงกลม ทั้งความเร่งสู่ศูนย์กลาง a และแรงสู่ศูนย์กลาง F ต่างห้อย "r" (a_rและ F_r) แสดงถึงทิศทางอยู่ในทิศทางของรัศมีวงกลม r.

รูปที่ 3: เช่นเดียวกับรูป1, แสดงเวกเตอร์ F, a,และ

สรุป

แรง F_r, ได้จากเงื่อนไขที่ว่าวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมตลอดเวลาและพบว่ามีทิศตามรัศมี r เข้าหาศูนย์กลาง เป็นแรงเดียวที่ต้องการทำให้วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง a_r ซึ่งแสดงถึงการเปลี่ยนความเร็วจาก v₀ เป็น v_f ไม่มีจำเป็นต้องมีแรงอื่นในการเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นวงกลม ไม่มีแรงในทิศทางที่หนีออกจากศูนย์กลาง ดังนั้นไม่มี "แรงหนีศูนย์กลาง" อยู่

ที่มาของสมการแรงสู่ศูนย์กลาง F_r

ในการพิสูจน์ แรง F_r, เราใช้คุณสมบัติของ "สามเหลี่ยมคล้าย" แสดงดังรูปล่าง:

รูปที่ 4: ความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมคล้าย

สำหรับสามเหลี่ยมในรูป 1 และ 2 ความสัมพันธ์นี้คือ :

(1) ย้ายข้างจะได้:

(2)

หารสมการ (2) ด้วยช่วงเวลา

(3)

(4)

(5) ดังนั้น

(6)

สมการ 5 และ 6 แสดงขนาดของ a_r (ความเร่งสู่ศูนย์กลาง) และ F_r (แรงสู่ศูนย์กลาง) สามารถเขียนในรูปเวกเตอร์ได้ดังนี้

and

เมื่อ แสดง "เวกเตอร์หน่วย" ตามแนว r.

Q: ยานอวกาศยังคงอยู่ในวงโคจรได้ตลอดไปหรือไม่? ทำไม ?

A: วงโคจรของยานอวกาศยังอยู่ภายในชั้นบรรยากาศโลก( the earth's atmosphere) ถึงแม้จะอยู่บนชั้นที่มีแก๊สเบาบางก็ตาม ฉะนั้นยังมีความเสียดทานซึ่งเกิดจากการเคลื่อนที่ของยานอวกาศตัดกับโมเลกุลของแก๊ส มีผลทำให้พลังงานจลน์ของยานอวกาศลดน้อยลง นั่นหมายถึงความเร็วของยานอวกาศในวงโคจรลดลง รัศมีการโคจรลดลง เข้าสู่วงโคจรที่มีความหนาแน่นของแก๊สมาก ถ้าลักษณะนี้เกิดขึ้นจริง เป็นไปได้ที่ยานอวกาศจะเผาไหม้ก่อนตกลงสู่พื้นโลก เพื่อให้ยานอวกาศยังคงอยู่ในวงโคจรระดับเดิมได้ต่อไป ต้องมีแรงกระตุ้นมากเพียงพอที่จะสามารถชดเชยพลังงานความร้อนที่สูญเสียไป

สมการ

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง	a = v² / r
คาบ	T = {2 r) / v
แรงสู่ศูนย์กลาง	F = ma = mv² / r

การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิก

เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของมวลที่ติดปลายสปริง ซึ่งวางบนพื้นที่ไม่มีแรงเสียดทาน ดึงมวลด้วยแรง F แล้วปล่อย มวลที่ติดปลายสปริงจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมา ผ่านตำแหน่งสมดุลเดิมได้โดยไม่มีแรงภายนอกมากระทำ แต่ เคลื่อนที่ด้วยแรงดึงกลับของสปริงซึ่งมีค่าแปรผันตามการขจัดของสปริง โดยที่การกระจัด , ความเร็ว , ความเร่ง , พลังงานจลน์และพลังงานศักย์ มีค่าดังนี้

1.1 การกระจัด

..............(1)
เมื่อ

เมื่อนำสมการที่ (1) มาแทนค่าเวลา (t) ด้วยคาบ (T) ของการเคลื่อนที่ และมุมเฟสเริ่มต้น 0 เรเดียน
จะได้ลักษณะ Sine curve ดังรูป

1.2 ความเร็ว ที่เวลาใดๆ

...........(2)
และ
............(3)
นั่นคือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย ที่ตำแหน่งการขจัดสูงสุดจะมีความเร็วเป็น 0 และมีความเร็วมากที่สุด ที่ตำแหน่งสมดุล

1.3 ความเร่งที่เวลาใดๆ

.............(4)
.............(5)

1.4 พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่

ที่ตำแหน่งใดๆ พลังงานจลน์ มีค่าดังนี้
.............(6)

1.5 พลังงานศักย์ของการเคลื่อนที่

ที่ตำแหน่งใดๆ พลังงานศักย์มีค่า ดังนี้
.............(7)

2. ลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย (Simple pendulum)

ให้มวล m ผูกเชือก เคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกโดยพิจารณาจากการขจัดเชิงมุม ได้ดังนี้

......................(8)

..................(9)

3. ลูกตุ้มฟิสิคัล (Physical Pendulum)

ให้วัตถุแข็งเกร็งรูปร่างใดๆ แกว่งในแนวดิ่งกลับไปกลับมารอบจุดหมุน ขณะที่วัตถุเคลื่อนที่จะมีแรงดึงกลับ ทำให้เกิดทอร์คดึงกลับ โดยที่ การกระจัดเชิงมุม เป็นดังนี้
..................(10)
และ
..................(11)

4. จุดศูนย์กลางการแกว่งหรือจุดศูนย์กลางการกระแทก (Center of Oscillation or Center of Percussion)

เมื่อวัตถุแข็งเกร็งอันหนึ่งแกว่งแบบลูกตุ้มฟิสิคัล ด้วยคาบการแกว่ง

และให้พิจารณาวัตถุชิ้นนี้มีคาบการแกว่งแบบลูกตุ้มนาฬิกา ด้วยคาบการแกว่ง

ถ้าคาบการแกว่งทั้งสองมีค่าเท่ากัน ได้ว่า
................(12)
ซึ่ง เป็นระยะจากจุดหมุน ไปยังตำแหน่งที่เสมือนเป็นที่รวมของมวลทั้งหมดของวัตถุ ที่ทำหน้าที่เป็นมวลของ ลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย ซึ่งเรียกตำแหน่งนี้ว่าจุดศูนย์กลางการแกว่งและสำหรับวัตถุชิ้นเดิม เมื่อนำจุดศูนย์กลาง การแกว่งมาเป็นจุดหมุนจะได้คาบการแกว่งเท่ากับคาบการแกว่งเดิม ถ้าออกแรงผลักลูกตุ้มที่จุดศูนย์กลาง การแกว่ง จะไม่มีแรงกระแทกเกิดขึ้นกับจุดที่ถูกแรงผลัก เรียกจุดนี้ว่าจุดศูนย์กลางการกระแทกได้เช่นเดียวกัน

5. ลูกตุ้มทอร์ชัน (Torsion Pendulum)

ให้วัตถุแข็งเกร็งผูกติดกับเส้นลวดแล้วแกว่งกลับไปกลับมาในแนวราบด้วยมุม q ที่มีค่าน้อยๆ ขณะที่วัตถุถูกบิดไป จะเกิดแรงดึงกลับหรือโมเมนต์ดึงกลับ โดยมีการกระจัด ดังนี้
.............(13)
และ
.............(14)

6. การแกว่งแบบถูกหน่วง (Damped Harmonic Motion)

ในการเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกนั้นจะเป็นแบบอย่างง่ายได้ ในกรณีที่แอมปลิจูดของการเคลื่อนที่ตลอดเวลา แต่ในความเป็นจริง ขณะวัตถุเคลื่อนที่จะมีแรงภายนอกมากระทำ ซึ่งอาจเป็นแรงต้านของอากาศหรือแรง เสียดทานระหว่างพื้นผิว ทำให้แอมปลิจูดของการเคลื่อนที่ไม่คงที่ตลอดเวลา แอมปลิจูดมีค่าลดลงเรื่อยๆ จนเป็นศูนย์และทำให้วัตถุหยุดนิ่ง เรียกว่าเป็นการแกว่งแบบถูกหน่วง